25.04.2022 р.

Геометрія.

Тема: Прямокутна система координат у просторі. Відстані між точками

Перегляньте відео,  запишіть розв'язування задач, фото сторінок зошита надіслати на вайбер 0968909618 або у Messenger, телеграм чи WhatsApp Громко Г.Ю. 

У цьому розділі ви:

■ ознайомитеся з прямокутною системою координат, векторами і рухами у просторі, їх основними властивостями та пов'язаними з ними формулами;

■ навчитеся розв'язувати стереометричні задачі за допомогою координатного і векторного методів.

ПРЯМОКУТНА СИСТЕМА КООРДИНАТ У ПРОСТОРІ

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Прямокутна декартова система координат у просторі

В курсі планіметрії ви познайомилися з прямокутною системою координат на площині.

Нагадаємо, що віссю координат називають пряму, на якій вибрані точка О (яку називають початком координат), додатний напрям (який позначають стрілкою) і одиничний відрізок (рис. 16.1).

Рис. 16.1

Кожній точці на координатній осі відповідає єдине дійсне число, яке називають координатою точки, і кожному дійсному числу відповідає єдина точка на координатній осі. Як відомо, початку координат — точці O ставлять у відповідність число 0 (х = 0), точці M, яка розташована на додатному промені, ставлять у відповідність число х, яке дорівнює довжині відрізка OM (х = OM) , точці K, яка розташована на від’ємному промені, ставлять у відповідність число х, яке дорівнює довжині відрізка OK, взяте зі знаком «-» (х = -ОК).

Означення. Прямокутною системою координат на площині називається пара перпендикулярних координатних осей зі спільним початком координат*.

Найчастіше початок координат позначають буквою O, а координатні прямі позначають Ox, Oy і називають, відповідно, віссю абсцис і віссю ординат (рис. 16.2). Кожній точці A на площині із заданою системою координат відповідає єдина пара чисел (а; b), які називають координатами точки на площині в даній системі координат, і кожній парі дійсних чисел відповідає єдина точка на площині із заданою системою координат.

Рис. 16.2

Означення. Прямокутною системою координат у просторі називають трійку попарно перпендикулярних координатних осей зі спільним початком координат.

Спільний початок координат найчастіше позначають буквою О, а координатні прямі — Ох, Оу, Oz і називають відповідно віссю абсцис, віссю ординат і віссю аплікат. Площини, що проходять через пари координатних прямих, називають координатними площинами і позначають хОу, xOz і yOz відповідно.

Нехай A — довільна точка простору, в якому вибрана прямокутна система координат. Через точку A проведемо площину, перпендикулярну до осі Ох, і точку її перетину з віссю Ох позначимо А_х (рис. 16.3).

* Нагадаємо, що за означенням координатної осі на кожній із них вибрано одиничний відрізок.

Рис. 16.3

Координату а цієї точки на осі Ох називають абсцисою точки А.

Аналогічно на осях Оу і Oz позначають точки А_у і А_z, координати яких b і с називають, відповідно, ординатою і аплікатою точки А.

Впорядковану трійку чисел (а; b; с) називають координатами точки А в просторі. Можна обґрунтувати, що кожній точці А простору із заданою системою координат відповідає єдина трійка чисел (а; b; с) — координат точки в даній системі координат, і кожній трійці дійсних чисел відповідає єдина точка простору із заданою системою координат.

2. Відстань між точками у просторі

У планіметрії було доведено, що відстань між точками А₁(х₁; у₁) і А₂(х₂; у₂) виражається формулою:

У просторі має місце аналогічна формула.

Відстань між точками

у просторі обчислюється за формулою

3. Координати середини відрізка

Відповідні формули у просторі повністю аналогічні формулам для обчислення координат середини відрізка на площині (див. табл. 16).

Для точок А₁(х₁; у₁; z₁) і А₂(х²; у₂; z₂) у просторі координати х; у; z точки С — середини відрізка А₁А₂ обчислюються за формулами

Із доведеннями формул, наведених у табл. 16, можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Дано точки А(3; 4; 5), В(2; 3; 0), С(0; 0; 5), F(3; 0; 2), Е(0; 7; 0). Які з цих точок лежать:

1) у площині хОу;

2) у площині yOz;

3) на осі Oz;

4) на осі Оу?

Розв'язання

Точки площини хОу мають координату z, яка дорівнює нулю. Тому тільки точки В і Е лежать у площині хОу. Точки площини уОz мають координату х, яка дорівнює нулю. Отже, точки С і Е лежать у площині уОz. Точка на осі Оz має дві координати (х і у), які дорівнюють нулю. Тому тільки точка С лежить на осі Оz. Точка на осі Оу має дві координати (х і z), які дорівнюють нулю. Тому тільки точка Е лежить на осі Оу.

Коментар

Слід врахувати, що для точок, які лежать в координатних площинах, одна з координат обов'язково дорівнює нулю (див. рисунок в першому рядку табл. 16), а для точок, які лежать на осях координат, дві координати дорівнюють нулю.

Задача 2. На даному зображенні прямокутної системи координат у просторі (рис. 16.4) побудуйте точку А з координатами (2; 3; 5).

Розв'язання

Спочатку побудуємо ортогональну проекцію заданої точки А(2; 3; 5) на площину хОу — точку А₁(2; 3; 0). Для цього відкладаємо на осі Ох відрізок ОА_х = 2 і проводимо в площині хОу пряму А_хА₁ || Оу. На осі Оу відкладаємо відрізок ОА_у = 3 і проводимо в площині хОу пряму А_уА₁ || Ох. На перетині прямих А_хА₁ і А_уА₁ одержуємо точку А₁, з’єднуємо її з точкою О і проводимо пряму А₁А || Oz.

Після цього на осі Оz відкладаємо відрізок ОА_z = 5 і проводимо пряму А_zА || ОА₁. Перетин прямих А_zА і А₁А дає зображення шуканої точки А (рис. 16.5).

Коментар

Нагадаємо, що за означенням осей координат на кожній із них вважається заданим і одиничний відрізок (як на рис. 16.4). Це дозволяє в будь-якій координатній площині побудувати точку з даними координатами.

Рис. 16.4

Рис. 16.5

При цьому слід враховувати, що на зображенні (паралельній проекції) просторової фігури перпендикулярність прямих може не зберігатися, але обов'язково зберігається паралельність прямих. Тому, описуючи побудови точок за їх координатами, слід використовувати паралельність відповідних прямих осям координат.

Задача 3*. Запишіть рівняння сфери з центром в точці А(-1; 4; -1), яка проходить через точку В(2; 4; 3).

Розв'язання

Радіус заданої сфери

Тоді рівняння шуканої сфери:

Коментар

За означенням сфери відстань від центра сфери до довільної її точки дорівнює радіусу сфери, тому радіус сфери можна знайти як відстань між точками А і В, а після цього використати рівняння сфери з центром (а; b; с) і відомим радіусом R:

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Поясніть, як визначають декартові координати точки в просторі.

2. Запишіть формулу для знаходження відстані між двома точками за координатами цих точок.

3*. Доведіть формулу для знаходження відстані між двома точками за координатами цих точок.

4. Запишіть формули для знаходження координат середини відрізка за координатами його кінців.

5*. Доведіть формули для знаходження координат середини відрізка за координатами його кінців.

6*. Запишіть і обґрунтуйте рівняння сфери з центром в точці O₁(а; b; с) і радіусом R.