14.03.2022 р.

Тема: Найбільше та найменше значення функції на проміжку

Перегляньте відео:

Дайте письмово відповіді на запитання та запишіть розв'язування задач (у тексті нижче), знімок сторінок зошиту надішліть на вайбер 0968909618 або у месенджер Громко Г.Ю.

Від максимумів і мінімумів функції слід відрізняти її найбільше і найменше значення на проміжку. Функція може мати кілька максимумів (мінімумів) на деякому проміжку (мал. 214), але не більше одного найбільшого (найменшого) значення. Функція може не мати максимуму (мінімуму) на проміжку, але мати найбільше (найменше) значення.

Наприклад, функція, графік якої зображено на малюнку 214, найбільше значення має у точці х₂, а найменше — у точці х₃, а функція f(х) = х², задана на проміжку [-1; 2], має найменше значення f(0) = 0 і найбільше значення f(2) = 4 (мал. 215).

Мал. 214

Мал. 215

Найбільше і найменше значення функції тісно пов’язані з її областю значень. Якщо область значень неперервної функції — проміжок [m; М], то m — найменше значення даної функції, М — найбільше її значення.

Оскільки неперервна функція найбільше і найменше значення може мати тільки в точках екстремуму або на кінцях відрізка, то для знаходження цих значень користуються таким правилом.

Щоб знайти найбільше і найменше значення неперервної функції f(x) на проміжку [а; b], треба обчислити її значення f(a) і f(b) на кінцях даного проміжку і в критичних точках, що належать цьому проміжку, та вибрати з них найбільше і найменше.

Позначаються вони

Приклад 1. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = х³ + Зх² - 9х - 10 на проміжку [-4; 4].

Розв’язання, f'(х) = Зх² + 6х - 9 = 3(х + 3)(х - 1). Критичні точки: х = -3, х₂ = 1. Знайдемо значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка. f(-4) = 10, f(-3) = 17, f(1) = -15, f(4) = 66.

З цих чотирьох значень функції найменшим є —15, а найбільшим — 66.

Відповідь.

Приклад 2. Знайдіть найбільше і найменше значення функції

якщо х ∈ [0; 1].

Розв’язання. Знайдемо похідну та критичні точки функції

Якщо у' = 0, то

звідки х = 1; 1 ∈ [0; 1].

у' — не існує, якщо х₁ = 0 і х₂ = 2. Ці точки не є критичними. Чому? Знайдемо у(0) = 0 і у(1) = 1.

Маємо:

Відповідь.

Приклад 3. Знайдіть найбільше і найменше значення функції у = 0,5sin 2х + Зsin х - х на проміжку [-0,5; 0,5].

Розв’язання. Знайдемо похідну функції у = 0,5sin 2х + Зsin х - х. Маємо: у' = соs 2х + 3соs х - 1.

Розв’яжемо рівняння соs 2х + 3соs x -1 = 0 або 2соs²х + 3соs х -2 = 0.

Нехай соs х = у. Рівняння 2у² + Зy -2 = 0 має два корені: у = -2і у = 0,5. Значення косинуса не може дорівнювати -2. Отже, соs х = 0,5,звідси х = ± + 2n — критичні точки функції. Точки - і належатьпроміжку [-0,5; 0,5].

Знайдемо значення функції у цих точках і на кінцях проміжку:

До знаходження найбільшого або найменшого значення функції зводиться розв’язання багатьох прикладних задач.

Приклад 4. Є квадратний лист жерсті зі стороною 60 см. Знайдіть розміри квадратів, які треба вирізати в кутах цього листа, щоб з одержаної заготовки зробити коробку найбільшого об’єму (мал. 216).

Розв’язання. Щоб одержати коробку (у формі прямокутного паралелепіпеда), треба вирізати рівні квадрати в кутах цього листа. Нехай х — довжина сторони такого квадрата. Тоді висота коробки дорівнює х, а сторона основи 60 - 2х.

Об’єм коробки V(х) = (60 - 2х)²х — функція від х. Маємо дослідити математичну модель задачі: при якому значенні х функція V(х) = (60 - 2х)²х на проміжку (0; 30) набуває найбільшого значення.

Значення х = 30 не належить проміжку (0; 30). Тому х = 10.

Оскільки V'(х) > 0 при х < 10, а V'(х) < 0 при х > 10,то х = 10 — точка максимуму. Отже, в цій точці функція V(х) набуває найбільшого значення.

Відповідь. Треба вирізати квадрати, сторони яких дорівнюють 10 см.

Мал. 216

Перевірте себе

1. Що таке найбільше (найменше) значення функції на даному проміжку?

2. Чи одне і те саме означають максимальне значення функції і її найбільше значення?

3. Як знайти найбільше або найменше значення неперервної функції на проміжку [а; b]?

Виконаємо разом

1. Знайдіть область значень функції у = х³ - 9х² - 7, якщо х ∈ [0;10].

Розв’язання, у' = (х³ - 9х² - 7)' = Зх² - 18х. Знайдемо критичні точки: у' = 0, якщо Зх² - 18х = 0 або 3х(х - 6) = 0, звідси х = 0, х = 6.

Знайдемо значення функції на кінцях проміжку [0; 10] і в критичних точках: у(0) = -7; у(6) = -115; y( 10) = 93.

Задана функція неперервна, її найбільше значення 93, найменше -115. Отже область її значень — відрізок [-115; 93].

Відповідь. [-115; 93].

2. Знайдіть найкоротшу відстань від точки А(10; 2) до графіка функціїy = х².

Розв’язання. Нехай найближча до А точка графіка функції М має абсцису х, її ордината дорівнює х² (мал. 217, с. 310). Знайдемо квадрат відстані між точками М(х; х²) і А(10; 2):

Мал. 217

Довжина відстані AM найменша, коли її квадрат найменший. Отже, знайдемо найменше значення функції f(х) - х⁴ - Зх² - 20х + 104.

f'(х) = 4х³ - 6х - 20 = 2(х - 2)(2х² + 4х + 5).

Рівняння 2х² + 4х + 5 = 0 дійсних коренів не має, тому функція f(x) має одну критичну точку х - 2. Якщо х < 2, то f'(х) < 0, якщо х > 2, то f'(х) > 0. Отже, х = 2 — точка мінімуму. В цій точці функція f(х) набуває найменшого значення.

Найменше значення квадрата відстані

Відповідь. 2.