10 клас Алгебра

18.04.2022 р.

Геометрія

Тема: Кути між площинами. Двогранний кут

Перегляньте відео, опрацюйте теорію, запишіть розв'язування задач, фото сторінок зошита надіслати на вайбер 0968909618 або у Messenger, телеграм чи WhatsApp Громко Г.Ю.

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Двогранний кут

Півплощину в просторі можна вважати просторовим аналогом променя. Тоді аналогом кута між променями на площині буде кут між півплощинами.

Означення. Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує (рис. 12.1).

Рис. 12.1

Півплощини називаються гранями двогранного кута, а пряма, що їх обмежує, — ребром двогранного кута.

Наочне уявлення про двогранний кут дають напіввідкрита класна дошка, двоскатний дах, відкритий ноутбук (див. рисунки).

* Якщо внаслідок перетину площин усі утворені двогранні кути дорівнюють один одному (усі кути прямі), то як кут між площинами вибирають будь-який із них.

Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох променях. Кут, утворений цими променями, називається лінійним кутом двогранного кута.

Нехай дано двогранний кут, утворений півплощинами а і β зі спільною прямою с (рис. 12.2), і площину γ, перпендикулярну до прямої с, яка перетинає півплощини а і β по променях а і b відповідно. Кут між променями а та b і є лінійним кутом цього двогранного кута.

За міру двогранного кута приймають міру відповідного йому лінійного кута: (а; β) = (а; b).

Доведемо, що величина лінійного кута не залежить від вибору площини γ.

Доведення. Нехай γ і γ' — площини, перпендикулярні до прямої с, які проходять через точки О і О' на прямій с та перетинають півплощини а і β по променях а і а' та b і b' відповідно (рис. 12.3). Оскільки дві різні площини, перпендикулярні до однієї прямої, паралельні, то γ || γ'.

Розглянемо паралельне проектування в напрямі прямої ОО' на площину γ'. Оскільки півплощина а проходить через пряму ОО' і перетинає площину γ по променю а, а площину γ' — по променю а', то промінь а' є проекцією променя а на площину γ'. Аналогічно промінь b' є проекцією променя b на площину γ'. Але за властивостями паралельного проектування, якщо плоска фігура F (наприклад, кут між променями а і b) лежить у площині γ, паралельній площині проекцій γ', то її проекція на площину γ' дорівнює фігурі F. Отже, кут між променями а і b дорівнює куту між променями а' і b'.

Якщо позначити лінійний кут двогранного кута через φ, то з означення випливає, що 0° < φ < 180°.

Двогранний кут називається прямим, якщо його лінійний кут є прямим.

Рис. 12.2

Рис. 12.3

Кутом між двома сусідніми гранями многогранника називатимемо двогранний кут між відповідними півплощинами.

Наприклад, у кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 12.4) кут між гранями ABCD і ВВ₁С₁С прямий, оскільки відповідний лінійний кут АВВ₁ дорівнює 90° (площина АВВ₁А₁ перпендикулярна до ребра ВС і перетинає відповідні півплощини по променях ВА і ВВ₁, отже, АВВ₁ — лінійний кут двогранного кута з ребром ВС).

Рис. 12.4

2. Практичні способи побудови лінійного кута двогранного кута

У задачах, для розв'язування яких доводиться застосовувати лінійні кути, не завжди зручно користуватися означенням лінійного кута. Тому доцільно пам'ятати практичні способи побудови лінійних кутів, наведені в п. 2 табл. 12. Із їх обґрунтуванням можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Під час запису розв’язань задач, пов’язаних із двогранними кутами, результат, обґрунтований у практичному способі 1, можна використовувати як відомий опорний факт. Але обґрунтування, наведені у способі 2, доводиться повторювати в розв’язанні кожної задачі, у якому використовують цей спосіб побудови лінійного кута. (Можливий варіант запису такого обґрунтування наведено в табл. 12.)

3. Кут між площинами

Дамо означення кута між площинами.

Означення. Кутом між площинами, що перетинаються, називається найменший* із двогранних кутів, утворених відповідними півплощинами**. кут між паралельними площинами чи площинами, які збігаються, вважають таким, що дорівнює нулю.

* Якщо при перетині площин усі утворені двогранні кути рівні (тобто всі кути прямі), то як кут між площинами вибирають будь-який із них.

** Маються на увазі двогранні кути, гранями кожного з яких є одна півплощина площини а і одна півплощина площини β, а ребром — пряма перетину даних площин.

Якщо позначити кут між площинами через φ, то з наведеного означення випливає, що 0° < φ < 90°.

Враховуючи способи побудови лінійного кута, одержуємо, що для знаходження величини кута між площинами, що перетинаються, достатньо через довільну точку на прямій їх перетину провести в кожній площині пряму, перпендикулярну до прямої їх перетину. Величина кута між цими прямими і дорівнюватиме величині кута між даними площинами.

Наприклад, у кубі АВСDА₁В₁С₁D₁ (рис. 12.5) кут між площинами АВСD і А₁ВСD₁ дорівнює куту між прямими АВ і А₁В, які лежать у розглянутих площинах і перпендикулярні до прямої їх перетину ВС (оскільки ВС пл. АВВ₁А₁). Отже кут між площинами ABCD і A₁BCD₁ дорівнює 45°.

Рис. 12.5

ПРИКЛАД РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ*

Задача. Через гіпотенузу АВ = с рівнобедреного прямокутного трикутника АВС проведено площину а, яка утворює з площиною трикутника кут 60°. Знайдіть відстань від вершини С до площини а .

Розв'язання

Проведемо перпендикуляр СО з точки С на площину а, тоді СО — відстань від точки С до площини а (рис. 12.6).

У площині а проведемо ОМ АВ і сполучимо відрізком точки С і М. Тоді СМ АВ за теоремою про три перпендикуляри, тобто СМО — лінійний кут двогранного кута при ребрі АВ, отже, СМО = 60°.